Обозначим количества выходных Si. Каждый из элементов в описании уровня 1 представляет собой сложный объект, который, в свою очередь, рассматривается как система Si на уровне 2. Элементами систем Si являются объекты Sij, где j=1,2…, mi (mi - количество элементов в описании системы Si). Подобное разделение продолжается вплоть до получения на некотором уровне элементов, описания которых дальнейшему делению не подлежат. Такие элементы по отношению к объекту S называют базовыми элементами.
1.1.2. Классификация параметров объектов
Внутренних и внешних параметров через m, n, l, а векторы этих параметров соответственно через Y=(y1,y2,…,ym), X=(x1,x2,…,xn), Q=(q1,q2,…,ql). Свойства системы зависят от внутренних и внешних параметров, т.е. имеет место функциональная зависимость:
Y=F(X,Q). (1.1)
1.1.3. Структура и математическая модель объекта
Структура объекта - это перечень типов элементов, составляющих объект, и способа связи элементов между собой в составе объекта.
Математическая модель (ММ) технического объекта - это система математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т.п.) и отношений между ними, отражающая некоторые свойства технического объекта. Наличие ММ позволяет легко оценивать выходные параметры по известным значениям векторов X и Q. Такая система соотношений (1) является примером математической модели объекта. Однако, существование зависимости (1.1) не означает, что она известна разработчикам и может быть представлена именно в таком явном относительно вектора Y виде. Как правило, ММ в виде (1.1) удается получить только для очень простых объектов. Типичной является ситуация, когда математическое описание процессов в проектируемом объекте задается моделью в форме системы уравнений. Ряд технических объектов в установившемся (стационарном) состоянии (режиме) может быть описан системами линейных алгебраических уравнений.
Такого рода объекты (например, объект, показанный на рис 1.1) относятся к классу линейных стационарных объектов.
Рис. 1.1. Структура линейного стационарного объекта
Структура данного объекта определяется двумя сумматорами S1 и S2, четырьмя линейно- усилительными блоками а11 , а12 , а21 , а22 и системой связей между ними.
Математическая модель такого рода объекта представляет собой систему линейных алгебраических уравнений и имеет вид:
а11х1 +а12х2=в1;
а21х1 +а22х2=в2;
1.1.4. Анализ объектов
Задача анализа объектов состоит в определении свойств и исследовании работоспособности объекта по его описанию.
При одновариантном анализе задаются значения внутренних и внешних параметров, требуется определить значения выходных параметров объекта.
При одновариантном анализе задается также некоторая точка в пространстве внутренних параметров и требуется в этой точке определить значения выходных параметров. Подобная задача обычно сводится к однократному решению уравнений, составляющих математическую модель, что и обусловливает название этого вида анализа.
Многовариантный анализ заключается в исследовании свойств объекта в некоторой области пространства внутренних параметров. Такой анализ требует многократного решения систем уравнений (многократного выполнения одновариантного анализа).
Задача, ставящаяся при анализе (исследовании) такого рода объектов (рис 1.1), может иметь следующий вид: необходимо определить значения входных воздействий х1 и х2 при заданной структуре объекта, определяемой системой связей, и заданных значениях внутренних параметров, при которых выход объекта имел бы требуемые выходные значения в1 и в2 .
1.1.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений
1.1.5.1. Постановка задачи. Система n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными имеет вид:
(1.2)
- неизвестные числа, подлежащие определению;
- коэффициенты системы;
- свободные члены.
Первый индекс коэффициента указывает номер уравнения, в котором фигурирует данный коэффициент (номер строки), а второй - номер неизвестного, при котором этот коэффициент поставлен (номер столбца). Коэффициенты системы, как и свободные члены, предполагаются известными.
Решением системы (или ее корнями) называется всякая совокупность чисел, , которая, будучи подставлена в систему вместо неизвестных , обращает все уравнения системы в тождества. Отметим, что совокупность чисел составляет одно решение системы, а не n решений.
В матричной форме система может быть записана как
(1.3)
или в обобщенной форме: (1.4)
1.1.5.2. Классификация методов решения. На практике применяют два типа методов:
- прямые или точные;
- итерационные.
Точные - это методы, которые дают решение задачи с помощью конечного числа элементарных арифметических операций. Число необходимых для решения задач вычислительных операций зависит только от вида вычислительной схемы и от порядка матрицы. К точным методам относится метод Гаусса. Решение СЛАУ итерационными методами получается как предел последовательных приближений, вычисляемых некоторым единообразным процессом. Число арифметических операций в данном случае зависит от вычислительной схемы, порядка матрицы и от требуемой точности. Примером итерационных методов является метод простой итерации. На практике чаще всего применяются прямые методы (метод Гаусса). Однако, при решении на ЭВМ систем высокого порядка (более 200 уравнений в системе), предпочтительными являются итерационные методы. Реализация решения задачи анализа линейного стационарного объекта может быть осуществлена с помощью средств матричной алгебры пакета MathCAD.
1.2. Последовательность выполнения работы
Согласно номеру варианта (две последние цифры номера зачетной книжки) выбрать из табл.1.1. значения параметров для линейного объекта.
По формулам
в1і= в1+h(і-1) ;
в2і= в2+h(і-1) ;
для і=1,….5 определить значения коэффициентов, определяющих выходные значения объекта для пяти рассматриваемых случаев.
3. Составить и отладить программу решения системы линейных уравнений согласно Приложению 1.1 и для полученных в пункте 2 значений выхода найти пять наборов значений входных переменных х1 и х2 .
4. По результатам просчета на ПЭВМ построить таблицы значений входа (х1 и х2) при заданных значениях выхода ( в1 и в2).
5. Построить графики изменения значений х1 и х2 в зависимости от значений в1 и в2.
Таблица 1.1
Номер
варианта
Задания
Коэффициенты системы уравнений
a11 a12 a21 a22 b1 b2 h
1
2
3
4
0,1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Страницы: 1, 2, 3, 4