Для проведення перетворення застосуємо середовище MatLab:
% Початкові дані
Wp1=8442; % Нижня межа смуги пропускання рад / сек
Wp2=12940; % Верхня межа смуги пропускання рад / сек
Ws1=7914; % Нижня межа смуги затримки рад / сек
Ws2=13468; % Верхня межа смуги затримки рад / сек
Rp=2; % Коефіцієнт пульсацій дБ
Rs=37; %Затухання дБ
[n,Wn]=cheb1ord([Wp1 Wp2],[Ws1 Ws2],Rp,Rs,'s'); % обчислюємо порядок фільтра
[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp); % визначаємо параметри передавальної ф-ції для фільтру Чебишева 1р.
W1=Wn(1);
W2=Wn(2);
W0=sqrt(W1*W2);
Bw=(W2-W1);
[b1 a1]=lp2bp(b,a,W0,Bw); % перетворимо перед. ф-цію прототипу в потрібну
Hrez=tf(b1,a1) % передавальна функція СФ
В результаті обчислень отримуємо передаточну функцію смугового фільтра Чебишева І роду:
Побудуємо характеристики фільтра за допомогою середовища MatLab
[h1,w1]=freqs(b1,a1,1000);
figure(4); %---АЧХ СФ
plot(w1,abs(h1));
axis([0 20000 0 1.2]);
xlabel('w'); ylabel('Amplitude');
title('AFC of bandpass filter');
grid on
figure(5); %---ФЧХ СФ
plot(w1,unwrap(angle(h1)));
axis([0 20000 -30 5]);
title('PFC of bandpass filter');
xlabel('w'); ylabel('Phase');
figure(6);
pzmap(Hrez);
Рис. 7. діаграма нулів та полюсів передаточної функції фільтра.
Рис. 5. АЧХ смугового фільтра Чебишева І роду.
Рис. 6. ФЧХ смугового фільтра Чебишева І роду.
Рис. 7. АЧХ фільтра в порівнянні з бажаною АЧХ.
1.4 Моделювання роботи фільтра
Щоб перевірити правильність розрахунків промоделюємо роботу фільтра у середовищі MatLab. Для моделювання використаємо тестовий сигнал що складається з трьох гармонічних сигналів різної частоти, фази та амплітуди.
%----------------- Формування вихідного сигналу --------------------------%
k1=3;
k2=16;
k3=12;
phi1=pi;
phi2=pi/4;
phi3=pi/2;
W1=6000;
W2=10976;
W3=24387;
dt=1e-5;
T1=2*pi/W1;
t=0:dt:20*T1;
[p,k]=size(t);
sign_freq=[W1 W2 W3];
sign_phase=[phi1 phi2 phi3];
sign_koeff=[k1 k2 k3];
Analog_sign=0;
for i=1:3
Analog_sign=Analog_sign+sign_koeff(i).*sin(sign_freq(i).*t+sign_phase(i));
end;
% Моделювання обробки аналогового сигналу
figure(7);
lsim(Hrez,Analog_sign,t);
axis([0 0.02 -40 40]);
Input signal
Рис. 8. Вхідний та вихідний сигнали.
1.5 Побудова спектрів вхідного та вихідного сигналів
Побудуємо спектри вхідного та вихідного сигналів. Для побудови спектрів використаємо алгоритм неперервного перетворення Фур’є.
Для дійсних функцій ряд Фур’є часто означається, як ряд по синусах та косинусах, аргументи яких обираються в такий спосіб, аби на відрізку означення функції вкладалась ціла кількість періодів. Легко зрозуміти, що перелік таких синусів та косинусів вичерпується множинами та , де n є довільним натуральним числом, а для може приймати також значення 0.
%------------------------- Побудова спектрів ---------------------------%
[y,x]=lsim(Hrez,Analog_sign,t);
a0=dt*sum(Analog_sign)/T1;
for i=1:k
ak(i)=(2*dt/T1)*sum(Analog_sign.*cos(t*i*W1));
bk(i)=(2*dt/T1)*sum(Analog_sign.*sin(t*i*W1));
Ak=sqrt(ak.^2+bk.^2);
k1=1:i; % номера відліків
W0=k1*W1; % масштабовані відліки
Wn=zeros(1,50); % завдання розміру вектора відліків
Wn=0:W0:50*W0; % заповнення вектора відліків (перші 50 елементів вектора W0)
Akn=zeros(1,50); % завдання розміру вектора амплітуд з урахуванням а0
Akn(1,1:50)=Ak(1,1:50); %заполнение вектора амплитуд
out_sign=y';
ak_out(i)=(2*dt/T1)*sum(out_sign.*cos(t*i*W1));
bk_out(i)=(2*dt/T1)*sum(out_sign.*sin(t*i*W1));
a0_out=dt*sum(out_sign)/T1;
Ak_out=sqrt(ak_out.^2+bk_out.^2);
Akn_out=zeros(1,50);% завдання розміру вектора амплітуд з урахуванням a0
Akn_out(1,1:50)=Ak_out(1,1:50);%заполнение вектора амплитуд
figure;
hold on
stem(Wn,[a0 Akn],'ro');
stem(Wn,[a0_out Akn_out],'b+');
xlabel('w'); ylabel('Magnitude');
axis([0 150000 0 70]);
hold off
Рис. 9. Спектри вхідного та вихідного сигналу.
2. Розрахунок та дослідження цифрового фільтра
2.1 Визначення порядку та частоти зрізу цифрового фільтра
Як і у випадку проектування аналогових фільтрів для визначення порядку цифрових фільтрів та їх частоти зрізу можна скористатися функціями пакета Communication середовища MatLab.
Згідно з теоремою Котельникова частота дискретизації має бути принаймні вдвічі більшою ніж максимальна частота сигналу. Для моделі фільтра використаємо частоту , де - частота дискретизації, - верхня межи смуги затримки.
Wd=Ws2*4 % Частота дискретизації рад / сек
Wpz=[Wp1/Wd Wp2/Wd]
Wsz=[Ws1/Wd Ws2/Wd]
[n,wn]=cheb1ord (Wpz, Wsz, Rp, Rs);
В результаті розрахунків маємо:
Мінімальний порядок фільтра n=9.
Частоти зрізу (відносні) Wn = [0.1567 0.2402]
2.2 Визначення коефіцієнтів фільтра та отримання передаточної функції
Для визначення коефіцієнтів фільтра використаємо середовище MatLab, при цьому можливості MatLab дозволяють виключити етап розрахунку фільтра прототипу і одразу визначити коефіцієнти фільтра згідно з ТЗ.
Wp1z=Wp1/Wd
Wp2z=Wp2/Wd
[b,a]=cheby1(n,Rp,[Wp1z Wp2z]);
Hrz=tf(b,a,1/(Wd*2*pi))
В результаті розрахунків отримуємо:
Вектор коефіцієнтів чисельника
b = 1.0e-008 * [0.0053 0 -0.0480 0 0.1920 0 -0.4481 0 0.6721 0 -0.6721 0 0.4481 0 -0.1920 0 0.0480 0 -0.0053]
a = 1.0e+004 * [0.0001 -0.0014 0.0102 -0.0462 0.1510 -0.3780 0.7496 -1.2033 1.5843 -1.7234 1.5525 -1.1555 0.7054 -0.3486 0.1365 -0.0409 0.0088 -0.0012 0.0001]
Передаточна функція фільтра:
Побудуємо характеристики отриманого фільтра за допомогою MatLab.
[H,W]=freqz(b,a,'whole');
plot (W,abs(H));grid on;
pzmap(Hrz)
Рис. 10 Діаграма нулів та полюсів фільтра.
Рис. 11 АЧХ смугового фільтра.
Рис. 12. ФЧХ смугового фільтра.
2.3 Моделювання роботи дискретного фільтра
Щоб перевірити правильність розрахунків промоделюємо роботу дискретного фільтра у середовищі MatLab. Для моделювання використаємо тестовий сигнал що складається з трьох гармонічних сигналів різної частоти, фази та амплітуди.
%-----------------Формирование исходного сигнала--------------------------%
k1=10;
k2=9;
Fs=Wd/(2*pi);
td=0:1/Fs:0.1;
Signal_digital=0;
Signal_digital=Signal_digital+sign_koeff(i).*sin(sign_freq(i).*td);
wdd=2*pi*Fs;
wd_mod=0:wdd/2/15671:wdd/2;
Sd_in=fft(Signal_digital);
Signd_out=filter(b,a,Signal_digital);
Sd_out=fft(Signd_out);
figure
plot(td(1,1:700), Signal_digital(1,1:700),'g-');
plot(td(1,1:700), Signd_out(1,1:700),'b-')
hold off;
grid on;
axis([0 0.08 -35 35]);
xlabel('t, c');
ylabel('Amplitude');
title ('Filtered and NOT filtered signals');
Рис. 13. Вхідний та вихідний сигнали.
2.4 Побудова спектрів вхідного та вихідного сигналів
Побудуємо спектри вхідного та вихідного сигналів. Для побудови ряду використаємо дискретне перетворення Фур’є. Припустимо, що у нас задано функцію дискретної змінної на рівномірній гратці, тобто задані значення функції fk для скінченної послідовності значень аргументу xk = kh – таблиця функції {fk; kh; k = 0::N} . Тут за допомогою позначено крок гратки – відстань між сусідніми вузлами. Перетворення Фур’є такої функції можна означити, як суму
Наведені вище міркування про властивості значень нескінченного ряду Фур’є свідчать про недоцільність використання суми з кількох членів, більшою за кількість вузлів гратки. Можна також зауважити, що сума з більшою кількістю членів містила б більше інформації про функцію, ніж є в таблиці значень функції. Звичайно ж, обидва ці міркування не є доведеням можливості використання саме такої кількості членів – необхідно побудувати правило обчислення коефіцієнтів суми Фур’є і довести існування єдиного набору таких коефіцієнтів для функції дискретної змінної.
Для дійсних функцій і особливо при використанні програмних засобів, що не підтримують комплексних чисел, може бути доцільним використання дійсної форми перетворення Фур’є поданням функції у вигляді ряду по синусах та косинусах:
Для побудови спектрів використаємо середовище MatLab
wd_mod=0:Wd/1000:Wd/2;
if size(wd_mod,2)<size(Sd_in,2)
dim=size(wd_mod,2);
else
dim=size(Sd_in,2);
end
plot(wd_mod(1,1:dim),abs(Sd_in(1,1:dim)),wd_mod(1,1:dim),abs(Sd_out(1,1:dim)));
legend('Input signal','Output signal');
xlabel('Frequency');
title ('Amplitude spectrum signals before and after filtration by the digital filter');
Рис. 14. Спектри вхідного та вихідного сигналів.
Висновки
У результаті виконання курсового проекту «Проектування аналогових та цифрових фільтрів» я набув навичок у розробці аналогових та цифрових фільтрів, формуванні математичних моделей на основі перетворень Лапласа та z-перетворення, побудові та порівняльному аналізі частотних характеристик цифрових та аналогових фільтрів, застосуванні перетворення Фур’є до спектрального аналізу сигналів, застосуванні методики трансформації узагальненого фільтра нижніх частот до конкретного типу фільтра (ФВЧ, СФ, РФ) при різних способах їх реалізації (фільтри Баттерворта, Чебишева першого та другого роду, а також еліптичний фільтр).
В ході виконання курсового проекту була створена програма на мові середовища MatLab для моделювання роботи аналогового та цифрового смугового фільтра Чебишева ІІ роду, виконано моделювання та побудова графіків амплітудно-частотних характеристик(АЧХ), фазочастотних характеристик (ФЧХ) і діаграм нулів і полюсів.
Страницы: 1, 2
