Рассматриваемая линия передачи ограничена плоскостями, расположенными при следующих значениях координаты x: x = 0 и x = a.
На границе с проводником вектор расположен таким образом, что может быть представлен суммой нормальной Eн и касательной Eкас составляющих-рис.2.4 диэлектрик.
Рис. 2.4. Электрическое поле на границе диэлектрик-проводник.
Наличие касательной составляющей электрического поля вызывает появление электрического тока плотностью
,
где - удельная электропроводность проводника.
Поскольку плотность тока конечна, а проводимость идеального проводника, то нужно выполнение условия при x = 0, x = a. В соответствии со вторым – уравнением системы (2.1) граничные условия для уравнения (2.3) запишем следующим образом:
, при x = 0, x = a.(2.4)
В приложении 5 получено решение уравнения (2.3) с граничными условиями (2.4). При отсутствии отражений оно может быть записано в следующем общем виде:
где - амплитуда напряженности магнитного поля прямой волны при z = 0 (m = 0, 1, 2, 3, …..),
.
При выполнении условия имеем
где
или
, (2.5)
критическая частота
. (2.6)
В результате поле принимает вид бегущей волны
, (2.7)
Таким образом, в линиях передачи возможно существование бесконечного числа поперечно – магнитных волн типа Em, отличающихся числом m, которые распространяются вдоль оси z, если частота колебаний источника f > fкр.
Поперечные электромагнитные волны
Если в выражениях (2.7) и (2.6) установить m = 0, то получим поле, имеющее две взаимно перпендикулярные составляющие и . Такое поле называется поперечно электромагнитным, или поле ТЕМ – типа (Transverse Electro-Magnetic).
ТЕМ – волны существуют при любых частотах f, т.е fкр =0 и имеют такую же структуру, как поле в свободном пространстве.
2.3 Поперечно – электрические волны
Решая уравнения системы (2.2), получим выражение для составляющих поля поперечно электрического типа (ТЕ – или H – волны):
, (2.8)
где - амплитуда колебаний напряженности электрического поля прямой волны при z=0,
волновое сопротивление среды. Постоянная распространения определяется выражением (2.5), критическая частота fкр - формулой (2.6).
Как видно из (2.8), существует бесконечное число типов поперечно - электрических волн Hm, соответствующих разным m = 1,2,3,… При m = 0, все составляющие поля равны 0.
Так же как и поперечно – магнитные поля, H – волны распространяются вдоль оси z, если частота колебаний источника превышает критическую частоту fкр, определяемую выражением (2.6).
2.4 Фазовая и групповая скорости волн. Длина волны в линии
Фазовая скорость движения волн типа Em и Hm, т.е скорость распространения гармонических колебаний одной фазы, определяется выражением
Подставив сюда выражение (2.5) и получим
, (2.9)
скорость света в среде.
Как видим, фазовая скорость ТМ - и ТЕ – волн всегда больше скорости света. Следует отметить, что фазовая скорость E – и H – волн зависит от частоты колебаний f. Зависимость от f, называется дисперсией, а среда, в которой наблюдается дисперсия – дисперсионной. Таким образом, линии передачи, в которых распространяются поперечно – магнитные или поперечно – электрические волны являются дисперсными.
Помимо фазовой, для характеристики движения радиоволн применяют понятие групповой скорости . Групповая скорость введена для оценки движения радиосигнала.
Радиосигналом называются высокочастотные колебания, модулированные низкочастотными колебаниями, которые содержат информацию. Групповая скорость – это скорость перемещения информации. Одновременно, групповая скорость является скоростью перемещения энергии.
При движении радиосигнала имеем не монохроматическую волну, а волну, содержащую спектр частот. Если радиосигнал узкополосный, т.е. ширина спектра много меньше средней частоты ω, то групповая скорость определяется выражением [1]:
(2.10)
Выражение (2.10) можно применить и к линиям передачи, определяя тем самым, скорость перемещения энергии.
Если в линии распространяется ТЕМ – волна, для которой, то из (2.10) следует, что
т.е. равна скорости света v в однородной среде.
При распространении волн Em и Hm в формулу (2.10), вместо β, следует подставить фазовый множитель βm, определяемый выражением (2.5). В результате получим
(2.11)
Как видим, групповая скорость меньше скорости света в среде v. Объединяя выражения (2.9) и (2.11), запишем
(2.12)
Длина волны в линии
Как известно, длина волны в линии – это расстояние, проходимое волной за период колебаний T
где vопределяется выражением (2.9).
Если в линии распространяется ТЕМ-волна, то фазовая скорость равна скорости света в среде v. Поскольку
скорость света в вакууме, то
где , - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости диэлектрика, заполняющего линию, и длина волны в линии
где - длина волны в вакууме.
В случае распространения волн Em и Hm - типа
(2.14)
Из соотношений (2.13) и (2.14) следует, что уменьшается при заполнении линии диэлектриком или магнитным материалом, и увеличивается при возбуждении поперечно – магнитных и поперечно – электрических волн.
2.6 Затухающие электромагнитные поля
Если к линии подключен источник, генерирующий колебания, частота которых меньше критической, определяемой формулой (2.6), то система уравнений (2.1) имеет следующее решение (см. приложение 5):
(2.15)
где - зависящие от х амплитуды колебаний напряженностей поля в точке z=0
- действительное число,
Из (2.15) видно, что амплитуда колебаний, возбуждаемых в линии в точке z=0, уменьшается с ростом z, причем быстрота затухания тем больше, чем сильнее отличаются f от fкр. При любых z колебания синфазны, т.е. отсутствует движение волны.
Как следует из (2.15) колебания H(t) и E(t) происходят с фазовым сдвигом, равным 90, поэтому средний во времени вектор Пойнтинга равен 0, т.е. электромагнитное поле не переносит энергии.
2.7 Радиоволны в прямоугольном волноводе
Прямоугольный волновод (рис.2.5) - широко используемая линия передачи, обладающая наименьшими потерями энергии, по сравнению с другими типами линий.
Поперечным сечением волновода является прямоугольник, широкая сторона которого равна а, узкая-b.
Для нахождения электромагнитного поля внутри волновода следует решить уравнения Максвелла с граничными условиями
где - касательная составляющая напряженности электрического поля. Проведя преобразования, аналогичные тем, которые были проделаны при нахождении поля между параллельными плоскостями, найдем выражения для составляющих поля в волноводе. Здесь также имеются две группы полей:
- поперечно-электрические или ТЕ-типа (Н-тип),
- поперечно-магнитные или ТМ-типа (Е-тип).
Поле Н-типа имеют составляющие Ех, Еу, Нх, Ну, Нz, а поле Е-типа – Ех, Еу, Еz, Нх, Ну.
Радиоволны Н-типа
Поперечно-электрические поля имеют следующие составляющие:
(2.16)
(2.17)
Как видим, поле имеет вид бегущей волны при , где
(2.18)
В волноводе может распространяться бесконечное число волн Hmn, соответствующих разным значениям m и n. Для того чтобы расширить диапазон пропускаемых частот, следует, по возможности, уменьшить критическую частоту . С этой целью следует возбуждать волны, у которых m и n минимальны.
Как следует из выражений для составляющих поля, не существует волны Н00. Простейшими типами колебаний являются Н10 и Н01. Так как a>b, то из (2.18) следует, что наименьшая критическая частота у волн Н10. Именно она, главным образом, используется на практике.
Волна Н10
Подставим в (2.16) m=1, n=0, получим
где -постоянная распространения волн Н10, определяемая выражением (2.16), а критическая частота
Поскольку
где -критическая длина волны в диэлектрике, заполняющем волновод, то
Длина волны в волноводе определяется соотношением (2.14), справедливым для волн Н- и Е-типа.
На рис.2.6 приведено распределение линий напряженности Е и Н в случае возбуждения волн Н10.
2.8 Волны ТЕМ-типа
На рис.2.7 изображены распределения электрических и магнитных линий в линиях с ТЕМ-волнами, справедливые для некоторого момента времени.
Помимо главной особенности таких ТЕМ-волн - отсутствие граничной частоты, эти волны имеют следующие свойства.
Фазовая скорость не зависит от частоты колебаний и равна скорости света в среде
где с- скорость света в вакууме. Для немагнитных сред (где )
(2.19)
В микрополосковой линии среда неоднородна по сечению, поэтому в (2.19) нужно подставить некоторую эффективную относительную диэлектрическую проницаемость , которая заключена в пределах ,где - относительная диэлектрическая проницаемость подложки. Значение для микрополосковых линий можно найти, например в работе .
Длина волны в линии не зависит от частоты колебаний f:
где - длина волны в вакууме. Для линий с немагнитным заполнением
(2.20)
Поскольку структура поля в линии такая же. как и при протекании постоянного тока, а статическое электрическое поле потенциально, то и для переменных полей можно использовать понятие потенциала . Это дает возможность перехода при расчете поля от дифференциальной векторной величины к интегральной скалярной величине, где U – разность потенциалов, или напряжение. В результате, вместо расчёта трех проекций вектора , зависящих от 4-х переменных, достаточно найти одну величину U как функцию 2-х переменных. Это значительно упрощает расчёт.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7