|
На каждой итерации вектор dj для j = 1, 2 определяется в виде
–Djf(yj), где D1 – единичная матрица, а D2 вычисляется по формулам (1) - (3). При
k = 1 имеем p1
= (2.7, -1.49)T, q1 = (44.73, -22,72)T. На второй итерации
p1 = (-0.1, 0.05)T,
q1 = (-0.7, 0.8)T и, наконец, на третьей итерации
p1 = (-0.02, 0.02)T,
q1 = (-0.14, 0.24)T. Точка yj+1
вычисляется оптимизацией вдоль направления
dj при начальной точке yj для j = 1, 2. Процедура остановлена в точке
y2 = (2.115, 1.058)T
на четвертой итерации, так как
норма çêf(y2) çê= 0.006 достаточно мала. Траектория движения,
полученная методом, показана на рисунке 1.
Рисунок 1. Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.
Лемма 1 показывает, что каждая матрица Dj положительно определена и dj является направлением спуска.
Для доказательства леммы нам понадобится :
Теорема 1. Пусть S - непустое множество в Еn, точка x Î cl S. Конусом возможных направлений в точке x называется множество D = {d : d ¹ 0, x + ld Î S при всех l Î (0, d) для некоторого d > 0}.
Определение. Пусть x и y - векторы из Еn и |xTy| - абсолютное значение скалярного произведения xTy. Тогда выполняется следующее неравенство, называемое неравенством Шварца : |xTy| £ ||x|| ||y||.
Лемма 1.
Пусть y1 Î Еn, а D1 – начальная положительно определенная симметрическая матрица. Для j = 1, ..., n положим yj+1 = yj
+ ljdj, где dj = –Djf(yj),
а lj является
оптимальным решением задачи минимизации f(yj
+ ldj) при l ³ 0. Пусть, кроме того, для
j = 1, ..., n – 1 матрица Dj+1
определяется по формулам (1) - (3).
Если f(yj)
¹ 0 для
j = 1, ..., n, то матрицы D1, ..., Dn
симметрические и положительно
определенные, так что d1,
..., dn – направления
спуска.
Доказательство.
Проведем доказательство по индукции. При j = 1 матрица
D1 симметрическая и положительно определенная по
условию леммы. Кроме того,
f(y1)Td1 = –f(y1)TD1f(y1)
< 0, так как D1 положительно определена. Тогда по теореме 1 вектор d1 определяет направление спуска. Предположим, что утверждение леммы
справедливо для некоторого j £ n –
1, и покажем, что оно
справедливо для j+1. Пусть x
– ненулевой вектор из En, тогда из (1) имеем
(4)
Так как Dj – симметрическая положительно определенная
матрица, то существует положительно определенная матрица Dj1/2, такая,
что Dj = Dj1/2Dj1/2. Пусть
a = Dj1/2x и b = Dj1/2qj. Тогда xTDjx = aTa,
qjTDjqj = bTb и xTDjqj
= aTb. Подставляя эти выражения в (4), получаем :
(5)
По неравенству Шварца имеем (aTa)(bTb) ³ (aTb)2. Таким образом, чтобы доказать, что xTDj+1x ³ 0, достаточно показать, что pjTqj > 0 и bTb > 0. Из (2) и (3) следует, что
pjTqj = ljdjT[f(yj+1) – f(yj)]. (6)
По предположениюf(yj) ¹ 0, и Dj положительно определена, так что
f(yj)TDjf(yj) > 0. Кроме того, dj – направление спуска, и, следовательно, lj >
0. Тогда из (6) следует, что pjTqj > 0. Кроме того, qj ¹ 0, и
, следовательно, bTb= qjTDjqj
> 0.
Покажем теперь, что xTDj+1x > 0. Предположим, что xTDj+1x = 0. Это возможно только в том случае, если (aTa)(bTb)
= (aTb)2 и pjTx = 0. Прежде всего заметим,
что
(aTa)(bTb) = (aTb)2 только при a = lb,
т.е. Dj1/2x = lDj1/2qj. Таким образом, x = lqj. Так как x ¹ 0, то l ¹
0. Далее, 0 = pjTx = l pjTqj противоречит тому, что pjTqj
> 0 и l ¹ 0. Следовательно, xTDj+1x > 0, т.е. матрица Dj+1
положительно определена.
Поскольку f(yj+1) ¹ 0 и Dj+1 положительно определена, имеем
f(yj+1)Tdj+1
= –f(yj+1)T
Dj+1f(yj+1) <
0. Отсюда по теореме 1 следует,
что dj+1 – направление спуска.
Лемма доказана.
Квадратичный случай.
В дальнейшем нам понадобиться :
Теорема 2. Пусть f(x) = cTx + 1 xTHx, где Н - симметрическая матрица порядка n x n.
Рассмотрим Н - сопряженные векторы d1,
…, dn и произвольную
точку x1. Пусть lk для
k = 1, …, n - оптимальное решение задачи минимизации
f(xk + ldk) при l Î Е1 и xk+1 = xk + ldk. Тогда для k =
1, …, n справедливы следующие утверждения
:
1. f(xk+1)Tdj = 0, j = 1, …, k;
2. f(x1)Tdk = f(xk)Tdk;
3. xk+1 является оптимальным решением задачи минимизации f(x) при
условии
x - x1 Î L(d1,
…, dk), где L(d1, …, dk) – линейное подпространство, натянутое на
векторы d1, …, dk, то есть В частности, xn+1 – точка
минимума функции f на Еn.
Если целевая функция f квадратичная, то в соответствии со сформулированной ниже теоремой 3 направления d1, …, dn, генерируемые методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла, являются сопряженными. Следовательно, в соответствии с утверждением 3 теоремы 2 метод останавливается после завершения одной итерации в оптимальной точке. Кроме того, матрица Dn+1, полученная в конце итерации, совпадает с обратной к матрице Гессе Н.
Теорема 3. Пусть Н – симметричная положительно определенная
матрица порядка n x n. Рассмотрим задачу минимизации f(x) = cTx
+ 1 xTHx при условии x
Î En. Предположим,
что задача решена методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла при начальной точке y1 и начальной положительно определенной матрице D1. В частности, пусть lj, j =
1, …, n, – оптимальное решение
задачи минимизации f(yj + ldj)
при l ³ 0 и yj+1
= yj + ljdj,
где dj = -Djf(yj),
а Dj определяется
по формулам (1) – (3). Если f(yj) ¹ 0 для всех j, то направления
d1, …, dn являются Н - сопряженными и Dn+1 = H-1. Кроме того, yn+1 является
оптимальным решением задачи.
Доказательство.
Прежде всего покажем, что для j, такого, что 1 £ j £ n, справедливы следующие утверждения :
1. d1, …, dj линейно независимы.
2. djTHdk = 0 для i ¹ k; i, k £ j.
3. Dj+1Hpk, или, что эквивалентно, Dj+1Hdk = dk для 1 £ k £ j, pk = lkdk.
Проведем доказательство по индукции. Для j = 1 утверждения 1 и 2 очевидны. Чтобы доказать утверждение 3, заметим прежде всего, что для любого k справедливы равенства
Hpk = H(lkdk) = H(yk+1 - yk) = f(yk+1) –f(yk) = qk. (7)
В частности, Hp1 = q1. Таким образом, полагая j = 1 в (1), получаем
,
т.е. утверждение 3 справедливо при j = 1.
Теперь предположим, что утверждения 1, 2 и 3 справедливы для j £ n – 1. Покажем, что они также справедливы и для j + 1. Напомним, что по утверждению 1 теоремы 2 diTf(yj+1) = 0 для i £ j. По индуктивному предположению di = Dj+1Hdi, i £ j. Таким образом, для i £ j имеем
0 = diTf(yj+1) = diTHDj+1f(yj+1) = –diTHdj+1.
Ввиду предположения индукции это равенство показывает, что утверждение 2 также справедливо для j+1.
Теперь покажем, что утверждение 3 справедливо для j+1.
Полагая k £ j+1, имеем
. (8)
Учитывая (7) и полагая k = j + 1 в (8), получим, что Dj+2Hpj+1 = pj+1. Теперь пусть k £ j. Так как утверждение 2 справедливо для j + 1, то
pj+1THpk = lklj+1dj+1THdk = 0. (9)
По предположению индукции из (7) и вследствие того, что утверждение 2 справедливо для j + 1, получаем
. (10)
Подставляя (9) и (10) в (8) и учитывая предположение индукции, получаем
.
Таким образом, утверждение 3 справедливо для j+1.
Осталось показать, что утверждение 1 справедливо для j+1. Предположим, что . Умножая это равенство на и учитывая, что утверждение 2 справедливо для j+1, получаем, что . По условию теоремы , а по лемме 1 матрица положительно определена, так что . Так как H положительно определена, то и, следовательно, . Отсюда следует, что , и так как d1, …, dj линейно независимы по предположению индукции, то для i = 1, …, j. Таким образом, d1, …, dj+1 линейно независимы и утверждение 1 справедливо для j+1. Следовательно, утверждения 1, 2 и 3 выполняются. В частности сопряжённость d1, …, dn следует из утверждений 1 и 2, если положить j = n.
Пусть теперь j = n в утверждении 3. Тогда для k = 1, …, n. Если в качестве D взять матрицу, столбцами которой являются векторы d1, …, dn, то . Так как D имеет обратную, то , что возможно только в том случае, если . Наконец, является оптимальным решением по теореме 2.
Теорема доказана.
Список литературы.
1. Базара М., Шетти К. «Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы». М., 1982.
2. Химмельблау Д. «Прикладное нелинейное программирование». М., 1975.
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.