Функция двоичных переменных также равная одному из двух значений (нулю или единице) - называется переключательной (логической) функцией (ПФ).

Логические функции обозначаются прописными буквами F или Y, а двоичные переменные - А, В, С, D, E, ... или строчной буквой икс с индексом, например, x1, х2, х3 ... .

ПФ может быть выражена (задана):

-                    словесно;

-                    алгебраическим (булевым) выражением;

-                    таблицей истинности;

-                    диаграммой Вейча (картой Карно).

Примеры задания переключательной функции (ПФ):

1) словесно: функция двух переменных принимает значение логической единицы, если обе переменные также равны единице, в противном случае, она равна нулю;

2) выражением:

3) таблицей истинности (таблица 3.1)

Таблица включает наборы (комбинации) логических переменных, которые должны быть упорядочены по возрастанию или убыванию их десятичных эквивалентов, а также значения функции на каждом наборе. Каждый набор имеет номер, равный десятичному эквиваленту двоичного числа, если наборы упорядочены по возрастанию. Если число переменных равно n, то количество наборов N = 2n. Номера наборов изменяются от 0 до (2n-1). Общее число переключательных функций n – переменных

.(3.1)

Таблица 3.1

Представление переключательной функции диаграммой Вейча (картой Карно) будет рассмотрено позднее при изучении вопроса минимизации ПФ.

3.2 Переключательные функции одной переменной (n=1)

Если n=1, то число наборов N=21=2, а количество ПФ  (таблица 3.2)

Таблица 3.2

Функция F0 называется константой нуля, так как на всех наборах принимает нулевое значение (F0=0). Функция F3 - константа единицы, так как всегда равна единице (F3=1). Функция F2=A называется повторением, а – инверсией (отрицанием – не А).

3.3 Переключательные функции двух переменных (n=2)

Если n=2, то число наборов N=22 =4, а количество ПФ  (таблица 3.3)

Отметим из этих шестнадцати функций 2-х переменных наиболее часто использующиеся:

F0 – константа нуля;

F15 – константа единицы;

F8=АВ=А*В – конъюнкция (логическое умножение (логическое “И”));

F14=АВ=А+В – дизъюнкция (логическое сложение (логическое “ИЛИ”));

F6= – исключающее ИЛИ (сумма по модулю два, неравнозначность, неэквивалентность);

 – равнозначность (эквивалентность);

 – ИЛИ-НЕ;

 – И - НЕ.

Таблица 3.3

3.4 Базисные логические функции

Любую логическую функцию можно представить совокупностью элементарных логических функций: дизъюнкцией, конъюнкцией, инверсией или их суперпозицией. Набор элементарных функций ИЛИ, И, НЕ называют функционально полным или базисным (базисом). Кроме того существуют еще два базиса: И-НЕ; ИЛИ-НЕ.

3.5 Принцип двойственности булевой алгебры

Если в выражении F8=АВ конъюнкцию заменить на дизъюнкцию и проинвертировать обе переменные, то результат окажется инверсией прежнего значения функции . Аналогично, если в выражении F14=АВ дизъюнкцию заменить на конъюнкцию и проинвертировать обе переменные, то результат окажется инверсией прежнего значения функции .

Указанные свойства логических функций отражают принцип двойственности булевой алгебры.

3.6 Основные тождества булевой алгебры

А+0=А;А+1=1;

А+А=А;А+=1;

А*0=0;А*1=А;

А*А=А;А*=0;=А.

3.7 Основные законы и теоремы булевой алгебры

3.7.1 Законы

Переместительный (свойство коммутативности): А+В=В+А; А*В=В*А.

Сочетательный (свойство ассоциативности): (А+В)+С=А+(В+С); (А*В)*С=А*(В*С).

Распределительный (свойство дистрибутивности): А*(В+С)=А*В+А*С; А+В*С=(А+В)*(А+С).

3.7.2 Теоремы

Поглощения: А+А*В=А; А*(А+В)=А.

Склеивания:

Де Моргана. Существует две формы записи теоремы де Моргана:

Форма 1:(3.1.1)

Форма 2:(3.1.2)

Последние два выражения вытекают из принципа двойственности булевой алгебры (раздел 3.5).

Теорема без названия. Существует еще одна теорема без названия, которую представим следующим образом:

(3.1.3)

Два полезных соотношения:

(3.1.4)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33