где U1 – действующее значение входного напряжения;
R – сопротивление нагрузки.
Фактическая мощность, выделяемая в нагрузке реального фильтра, определяется действующим значением выходного напряжения, которое зависит от частоты входного напряжения:
(2.2)
Передаточной функцией по мощности будем называть отношение мощности, выделяемой в нагрузке реального фильтра (2.2) к мощности, выделяемой в нагрузке, идеального фильтра:
(2.3)
Таким образом, передаточная функция по мощности есть квадрат передаточной функции по напряжению (2.3).
Отметим, что в известных учебниках по ОТЦ частотные характеристики фильтров оцениваются затуханием, которое выражается в децибелах (дБ):
(2.28)
Из этой формулы следует, что фактически производится оценка затухания (ослабления) сигнала по мощности.
Поскольку физический смысл формулы (2.4) спрятан под знаком логарифма, постольку в дальнейшем будем пользоваться более простой формулой (2.3), физический смысл которой более прост и понятен.
Расчет коэффициента прямоугольности передаточной функции по мощности ФНЧ будем производить следующим образом.
Определим частоту, на которой передаточная функция по мощности составляет 5% от максимума:
За пределами этой частоты будем считать, что передаточная функция равна нулю
Определим полную площадь под кривой передаточной функции (Рис.2.1):
(2.5)
Определим также площадь под кривой передаточной функции в пределах полосы пропускания (0…f2), где передаточная функция по напряжению а передаточная функция по мощности (Рис.2.1):
(2.6)
Коэффициентом прямоугольности передаточной функции по мощности будем называть отношение найденных площадей:
(2.7)
По физической сущности коэффициент прямоугольности представляет собой коэффициент полезного использования площади под кривой передаточной функции по мощности и дает представление о степени соответствия реального фильтра идеальному с той же полосой пропускания.
2.4 Емкостной фильтр нижних частот
2.4.1 Частотные характеристики емкостного фильтра нижних частот первого порядка (ФНЧ-1)
Рассмотрим электрическую схему, изображенную на Рис.2.3, которая представляет собой простейший фильтр нижних частот первого порядка (ФНЧ-1).
.
r
С R
1’ 2’
Рис.2.3. Емкостной фильтр нижних частот (ФНЧ-1)
Работа ФНЧ-1:
При
На малых частотах емкость обладает большим сопротивлением и поэтому весь проходит только через резисторы r, R, не ответвляясь в емкость.
На больших частотах емкость обладает малым сопротивлением. Она закорачивает нагрузку и поэтому выходное напряжение мало.
Определим для этого фильтра АЧХ и ФЧХ, рассматривая его как Г-образный 4х-П, нагруженный активным сопротивлением R.
Сопротивления плеч фильтра:
Коэффициенты формы А:
Уравнение связи входного и выходного напряжений (1.6):
(2.8)
где - эквивалентное сопротивление при параллельном соединении R и r.
(2.9)
Передаточные функции ФНЧ-1 принимают вид:
(2.10)
где - значение передаточной функции на частоте ω=0.
Теперь, по формулам (2.9) и (2.10) можно, при известных значениях R, r, C-элементов, рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ простейшего фильтра нижних частот (ФНЧ-1).
При изучении частотных характеристик фильтров удобно пользоваться АЧХ ФЧХ в параметрической форме. Для этого необходимо ввести в рассмотрение приведенную, или так называемую нормированную частоту, которая, в данном случае, определяется по формуле
(2.11)
где - граничная частота, на которой реактивное сопротивление емкости равно активному сопротивлению
Запишем (2.9) и (2.10) в параметрической форме:
(2.12)
(2.13)
Параметрические функции (2.11) и (2.12) позволяют проводить общий анализ АЧХ и ФЧХ фильтра при заданных значениях R, r-элементах и произвольном значении емкости С.
Пример 2. Рассчитать и построить графики при следующих исходных данных:
R=100 Ом – сопротивление нагрузки;
r=5 Ом – внутреннее сопротивление источника.
Оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.
Результаты расчетов представлены на Рис.2.4 и Рис.2.5.
Из этих рисунков видно, что передаточная функция по мощности при частоте ν=0 принимает значение H(0)=0,98, а затем плавно уменьшается с увеличением частоты. Коэффициент прямоугольности этой функции составляет всего П=0,545. Это означает, что данный фильтр соответствует идеальному фильтру на 54,5%.
Сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями изменяется от 0 до 900. При этом выходное напряжение опережает входное.
2.4.2 Синтез емкостного фильтра нижних частот первого порядка
Синтез (проектирование) любого технического устройства начинается с разработки технического задания (ТЗ), в котором приводятся исходные данные и формулируются требования к устройству.
Применительно к ФНЧ-1 техническое задание на его проектирование можно изложить следующим образом:
1. Спроектировать емкостной фильтр нижних частот, схема которого приведена на Рис.3.2.
2. На вход фильтра подаются сигналы синусоидальной формы, частота которых изменяется от 0 до ∞.
3. Сопротивление нагрузки R, а внутреннее сопротивление источника r, (R>>r).
4. Передаточная функция по напряжению на нижней границе полосы пропускания (f1=0) должна принимать значение, близкое к единице, а на верхней границе f2 передаточная функция должна принимать значение H(f2)=H1.
5. Определить потребное значение емкости, рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтра, оценить коэффициент прямоугольности передаточной функции по мощности.
В условиях данной задачи неизвестной величиной является только емкость, которую достаточно просто можно найти из уравнения передаточной функции. Однако, в интересах общности изложения последующего материала воспользуемся передаточной функцией в параметрической форме (2.14), из которой найдем значение приведенной частоты n2, на которой передаточная функция (2.12) принимает заданное значение H1:
(2.14)
Очевидно, что (2.14) имеет смысл только при H1<H0.
Теперь формулу (2.11) можем записать в виде
откуда находим потребное значение емкости для построения ФНЧ-1 Рис.3.2:
(2.15)
Страницы: 1, 2, 3, 4